Question

如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AF交CD于E，交BC的延长线于F.

(1)若∠B＋∠DCF＝180°，求证：四边形ABCD是等腰梯形；

(2)若E是线段CD的中点，且CF∶CB＝1∶3，AD＝6，求梯形ABCD中位线的长．

Answer 1

 (1)证明：∵∠DCB＋∠DCF＝180°，且∠B＋∠DCF＝180°，∴∠B＝∠DCB.

∵四边形ABCD是梯形，

∴四边形ABCD是等腰梯形．

(2)解：∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠F.

∵E是线段CD的中点，

∴DE＝CE.

又∵∠DEA＝∠FEC，

∴△ADE≌△FCE.∴AD＝CF＝6.

∵CF∶BC＝1∶3，

∴BC＝18.

∴梯形ABCD的中位线长是(18＋6)÷2＝12.