Question

如图，D是等边△ABC外的一点，DB=DC，∠BDC=120°，且E、F分别在AB和AC上．
（1）求证：AD是BC的垂直平分线；     
（2）若ED平分∠BEF，证明：
①FD平分∠EFC；
②△AEF的周长是BC长的2倍．

Answer 1

考点：角平分线的性质,线段垂直平分线的性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）求出AB=AC，BD=DC，根据线段垂直平分线性质求出即可；
（2）①过D作DM⊥EF，连接AD，求出AD平分∠BAC，求出∠ABC=∠ACB=60°，求出BD=DM，BD=DC，推出DM=DC即可；
②求出DB=DM，DM=DC，∠EBD=∠EMD=90°，证出△EBD≌△EMD，推出EM=BE，同理FC=FM，求出EF=BE+CF，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵BD=DC，
∴D在BC的垂直平分线上，
∴AD是BC的垂直平分线；

（2）①
过D作DM⊥EF，连接AD，
∵AD是BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴DB⊥AB，DC⊥AC，
∵DM⊥EF，ED平分∠BEF，AD平分∠BAC，
∴BD=DM，BD=DC，
∴DM=DC，
∴FD平分∠EFC；
②
∵DE平分∠BEF，DB⊥AB，DM⊥EF，DF平分∠CFE，
∴DB=DM，DM=DC，∠EBD=∠EMD=90°，
在△EBD和△EMD中

∠EBD=∠EMD ∠BED=∠MED DE=DE

，
∴△EBD≌△EMD，
∴EM=BE，
同理FC=FM，
∴EF=BE+CF，
∴△AEF的周长是AE+EF+AF=AE+BE+CF+AF=2AB=2BC．

点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．