Question

已知，如图，一次函数y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A和点B，A点坐标为（3，0），∠OAB=45°．
（1）求一次函数的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上一点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPC，连接CA并延长交y轴于点Q．
①若点P的坐标为（4，0），求点C的坐标，并求出直线AC的函数表达式；
②当P点在x轴正半轴运动时，Q点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请求出它的变化范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1））由∠AOB=90°，∠OAB=45°，可得∠OBA=∠OAB=45°，即OA=OB，由A（3，0），可得B（0，3），代入y=kx+b可得出k，b的值，即可得出一次函数的表达式；
（2）①过点C作x轴的垂线，垂足为D，易证△BOP≌△PDC，进而得出点P，C，的坐标，所点A，C的坐标代入y=k₁x+b₁求解即可．
②由△BOP≌△PDC，可得PD=BO，CD=PO，由线段关系进而得出OA=OB，得出AD=CD，由角的关系可得△AOQ是等腰直角三角形，可得出OQ=OA，即可得出点Q的坐标．

解答：解：（1）∵∠AOB=90°，∠OAB=45°
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴OA=OB，
∵A（3，0），
∴B（0，3），
∴

3k+b=0 b=3

，
解得k=-1．
∴y=-x+3，
（2）①如图，过点C作x轴的垂线，垂足为D，

∵∠BPO+∠CPD=∠PCD+∠CPD=90°，
∴∠BPO=∠PCD，
在△BOP和△PDC中，

∠BOP=∠PDC ∠BPO=∠PCD BP=PC

，
∴△BOP≌△PDC（AAS）．                          
∴PD=BO=3，CD=PO，
∵P（4，0），
∴CD=PO=4，则OD=3+4=7，
∴点C（7，4），
设直线AC的函数关系式为y=k₁x+b₁，
则

3k1+b1=0 7k1+b1=4

，
解得

k=1 b=-3

．
∴直线AC的函数关系式为y=x-3；
②点Q的位置不发生变化．
由①知△BOP≌△PDC，当点P在x轴正半轴运动时，仍有△BOP≌△PDC，
∴PD=BO，CD=PO，
∴PO+PD=CD+OB，即OA+AD=OB+CD，
又∵OA=OB，
∴AD=CD，
∴∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠QAO=45°，
∴OQ=OA=3，
即点Q的坐标为（0，-3）．

点评：本题主要考查了一次函数的综合题，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是得出△BOP≌△PDC．