Question

如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，BC于点F，连接AF、CE．
（1）求证：△AFE为等腰三角形．
（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．
（3）若AB=12cm，BC=18cm，求重叠部分△AFE的面积和EF的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）证明∠AFE=∠AEF，即可解决问题．
（2）证明AE=CF，运用勾股定理即可解决问题．
（3）证明四边形AFCE是菱形，求出AC、AE的长度，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接AC，交EF于点O；
由题意得：∠AFE=∠CFE；
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴△AFE为等腰三角形．
（2）∵EF⊥AC，且平分AC，
∴AE=CE=a；在Rt△DCE中，
由勾股定理得：
CE²=CD²+DE²，而ED=b，DC=c，
∴a²=b²+c²．
（3）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，
∴AC²=BC²+AB²=12²+18²，
∴AC=6

13

；
由矩形的中心对称性知：AE=CF，而AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，而AE=AF，
∴四边形AFCE是菱形，AC⊥EF；
设AE=λ，则DE=18-λ；
由（2）知：λ²=（18-λ）²+12²，
解得：λ=13，
∴S菱形AECF=AE•CD=

1

2

AC•EF=13×12，
∴S_△AEF=

1

2

S菱形AECF=78，EF=

52 3

3

，
即重叠部分△AFE的面积和EF的长分别为78cm²、

52 3

3

cm．

点评：该题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以等腰三角形的判定、勾股定理、菱形的判定及其性质等几何知识点的考查为核心构造而成；解题的关键是作辅助线；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．