Question

1．已知：在△ABC中，CD⊥AB于点D，过点D作DE∥AC，点G为ED的中点，BG的延长线交AC于点F，连接CG．

（1）若∠BGE=∠CGE，求证：∠CEG=2∠CDE；
（2）若DE⊥BC，若∠GCE=∠DCG+∠ABF，探究：CE与BE的数量关系．

Answer 1

分析 （1）易证∠CGE=∠DGF和CG=FG，即可证明△CGE≌△FGD，可得∠CEG=∠FDG，易证∠CDF=∠CDE，即可求得∠CDE=$\frac{1}{2}$∠CEG，即可解题；
（2）结论：BE=2CE．如图2中，作CN⊥BF于N，连接FD，取BG中点M，连接EM．首先证明AF=CF=DF=FG，再证明△DGF≌△EGM，推出BG=2CF，由△CGN≌△CGE，推出CE=CN，由△CNF∽△BEG，得到$\frac{CN}{EB}$=$\frac{CF}{BG}$=$\frac{1}{2}$，由此即可证明．

解答 证明：（1）如图1中，连接DF．

∵DE∥AC，
∴∠CGE=∠ACG，∠BGE=∠BFC，
∵∠CGE=∠BGE，∠BGE=∠DGF，
∴∠ACG=∠BFC，∠CGE=∠DGF，
∴CG=FG，
在△CGE和△FGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=FG}\\{∠CGE=∠DGF}\\{DG=GE}\end{array}\right.$，
∴△CGE≌△FGD（SAS），
∴∠CEG=∠FDG，
∵DE∥AC，
∴$\frac{DG}{AF}$=$\frac{BG}{BF}$=$\frac{EG}{FC}$，
∵DG=EG，
∴AF=FC，
∴DF是RT△ACD斜边上中线，
∴∠CDF=∠FCD，
∵∠CDE=∠DCF，
∴∠CDF=∠CDE，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠FDG=$\frac{1}{2}$∠CEG
∴2∠CDE=∠CEG；

（2）结论：BE=2CE．
理由：如图2中，作CN⊥BF于N，连接FD，取BG中点M，连接EM．

∵∠CNO=∠BDO=90°，∠CON=∠BOD，
∴∠NCO=∠DBO，
∵∠GCE=∠DCG+∠DBG，
∴∠GCE=∠GCN，
∵∠CEG=∠CNG=90°，
∴∠CGE=∠CGN，
∵AC∥DE，
∴∠FCG=∠CGE=∠CGF，
∴FC=FG，
由（1）可知AF=FC，
∴DF=AF=FC=FG，
∴∠FDG=∠FGD=∠EGM，
∵∠BEG=90°，GM=MB，
∴EM=MG=BM，
∴∠MEG=∠MGE=∠FDG，
∵DG=GE，
∴△GDF≌△GEM，
∴FG=GM=BM=FC，
∴BG=2CF，
∵GE∥CF，
∴∠BGE=∠CFN，∵∠CNF=∠BEG=90°，
∴△CNF∽△BEG，
∴$\frac{CN}{EB}$=$\frac{CF}{BG}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2CN，
在△CGE和△CGN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CNG=∠CEG}\\{∠CNG=∠CEG}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△CGN≌△CGE，
∴CE=CN，
∴BE=2CE．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形，相似三角形解决问题，综合性比较强，属于中考压轴题．