Question

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，P为△ABC内一个动点，∠PAB=∠PBC，则CP的最小值为$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 首先求得∠APB=135°，点P在以AB为弦的⊙O上，然后可求得OC=$\sqrt{2}$，OP=1，当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值．

解答 解：如图所示：

∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
又∵∠PAB=∠PBC，
∴∠PAB+∠PBA=45°．
∴∠APB=135°．
∴点P在以AB为弦的⊙O上．
∵∠APB=135°，
∴∠AOB=90°．
∴∠OAB=∠OBA=45°．
∴∠CAO=90°．
∴四边形ACBO为矩形．
∵OA=OB，
∴四边形AOBC为正方形．
∴OA=OB=1．
∴OP=1，OC=$\sqrt{2}$．
当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值，
∴PC的最小值=OC-OP=$\sqrt{2}$-1．
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 本题主要考查的是等腰直角三角形的性质、正方形的判定，证得点P在以AB为弦的圆弧上是解题的关键．