Question

【题目】如图，与的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，，CE是的直径．

（1）求证：AB是的切线；

（2）若求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）．

【解析】

（1）连接OD、CD，根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，根据垂径定理得出OA垂直平分CD，根据垂直平分线的性质得出，然后根据等腰三角形的三线合一的性质得出，进而证得，得到，即可证得结论；

（2）易证△BED∽△BDC，求得BE，得到BC，然后根据切线长定理和勾股定理列出关于y的方程，解方程即可．

证明：连接OD、CD，

∵CE是的直径，

∴，

∵，

∴，

∴OA垂直平分CD，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∵AC是切线，

∴，

在和中

，

∴，

∴，

∵OD是半径，

∴AB是的切线；

（2）解：∵BD是切线，易证△BED∽△BDC，

∴，

设，∵

∴，

解得或（舍去），

∴，

∴，

∵AD、AC是的切线，

∴，

设，

在中，，

∴，

解得，

∴，

故AC的长为6．