如图.在平面直角坐标系中.Rt△ABO的斜边OA在x轴上.点B在第一象限内.AO=4.∠BOA=30°．点C(t.0)是x轴正半轴上一动点:(1)点B的坐标为,过点O.B.A的抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x,(2)作△OBC的外接圆⊙P.当圆心P在(1)中抛物线上时.求点C和圆心P的坐标,(3)设△OBC的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的斜边OA在x轴上，点B在第一象限内，AO=4，∠BOA=30°．点C（t，0）是x轴正半轴上一动点（t＞0且t≠4）：
（1）点B的坐标为（3，$\sqrt{3}$）；过点O、B、A的抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x；
（2）作△OBC的外接圆⊙P，当圆心P在（1）中抛物线上时，求点C和圆心P的坐标；
（3）设△OBC的外接圆⊙P与y轴的另一交点为D，请将OD用含t的代数式表示出来，并求CD的最小值．

分析（1）作BE⊥OA于E，则∠BEO=90°，先由三角函数求出OB，再由三角函数求出BE、OE，即可得出点B的坐标；用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出OB的中垂线的解析式，得出P（$\frac{t}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}t$+2$\sqrt{3}$），把点P坐标代入抛物线解析式，解方程求出t，即可得出P、C的坐标；
（3）连接CD，则CD为直径，得出∠DBC=90°；分两种情况：
①当点C在线段OA上时，证明△ABC∽△OBD，得出比例式$\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{AB}$，即可得出OD，根据勾股定理即可求出CD的最小值；
②当点C在点A右边（t＞4）时，同理可得：△ABC∽△OBD，得出OD=$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$；根据勾股定理即可得出CD的最小值．

解答解：（1）作BE⊥OA于E，如图1所示：
则∠BEO=90°，
∵∠ABO=90°，∠BOA=30°，
∴OB=OA•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
∴OE=$\sqrt{3}$BE=3，
∴点B的坐标为：（3，$\sqrt{3}$）；
故答案为：（3，$\sqrt{3}$）；
∵O（0，0），A（4，0），B（3，$\sqrt{3}$），
∴过点O、B、A的抛物线解析式为y=ax²+bx，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}&{\;}\\{9a+3b=\sqrt{3}}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴过点O、B、A的抛物线解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x；
故答案为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x；
（2）如图2所示：∵外接圆圆心P是直线x=$\frac{t}{2}$与OB的中垂线交点，
∴点P的横坐标为$\frac{t}{2}$，
∵OB的中垂线过点（2，0）和OB的中点（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设OB的中垂线的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{\frac{3}{2}k+b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得k=-$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$，
∴OB的中垂线的解析式为：y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∴P（$\frac{t}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}t$+2$\sqrt{3}$），
要使P在抛物线上，则P点坐标满足$\frac{\sqrt{3}}{2}$t+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（$\frac{t}{2}$）²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{t}{2}$，
解得：t=2，或t=12，
∴P点的坐标为（1，$\sqrt{3}$），或（6，-4$\sqrt{3}$），
点C的坐标为（2，0），或（12，0）；
（3）连接CD、BD，如图3所示：
则CD为直径，
∴∠DBC=90°；
分两种情况：①当点C在线段OA上时，
∵∠DBC=∠OBA=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
即∠1=∠2，
又∵∠BOD=∠BAC=60°，
∴△ABC∽△OBD，
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{OB}{AB}$，
∴OD=$\frac{（4-t）×2\sqrt{3}}{2}$=-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得：CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{（-\sqrt{3}t+4\sqrt{3}）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{4（t-3）^{2}+12}$，
∴当t=3时，CD有最小值为2$\sqrt{3}$；
②当点C在点A右边（t＞4）时，
同理可得：△ABC∽△OBD，
∴OD=$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$；
根据勾股定理得：CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}t-4\sqrt{3}）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{4（t-3）^{2}+12}$，
∴当t=3时，CD有最小值为2$\sqrt{3}$；
综上所述：OD为-$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$，或$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$；CD的最小值为2$\sqrt{3}$．

点评本题是圆的综合题目，考查了坐标与图形性质、三角函数、用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、最小值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和求出直线的解析式才能得出结果．

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