Question

【题目】对于平面直角坐标系中的两个图形K1和K2，给出如下定义：点G为图形K1上任意一点，点H为K2图形上任意一点，如果G，H两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K1和K2的“近距离”。如图1，已知△ABC，A（-1，-8），B（9,2），C（-1,2），边长为的正方形PQMN，对角线NQ平行于x轴或落在x轴上．

（1）填空：

①原点O与线段BC的“近距离”为 ；

②如图1，正方形PQMN在△ABC内，中心O’坐标为（m，0），若正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，则m的取值范围为 ；

（2）已知抛物线C：，且-1≤x≤9，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，求a的值；

（3）如图2，已知点D为线段AB上一点，且D（5，-2），将△ABC绕点A顺时针旋转α（0<α≤180），将旋转中的△ABC记为△AB’C’，连接DB’，点E为DB’的中点，当正方形PQMN中心O’坐标为（5，-6），直接写出在整个旋转过程中点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”．

Answer 1

【答案】（1）①2；②；（2）或；（3）点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”为．

【解析】

（1）①由垂线段最短，即可得到答案；

②根据题意，找出正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，的临界点，然后分别求出m的最小值和最大值，即可得到m的取值范围；

（2）根据题意，抛物线与△ABC的“近距离”为1时，可分为两种情况：当点C到抛物线的距离为1，即CD=1；当抛物线与线段AB的距离为1时，即GH=1；分别求出a的值，即可得到答案；

（3）根据题意，取AB的中点F，连接EF，求出EF的长度，然后根据题意，求出点F，点Q的坐标，求出FQ的长度，即可得到EQ的长度，即可得到答案．

解：（1）①∵B（9，2），C（，2），

∴点B、C的纵坐标相同，

∴线段BC∥x轴，

∴原点O到线段BC的最短距离为2；

即原点O与线段BC的“近距离”为2；

故答案为：2；

②∵A（-1，-8），B（9，2），C（-1，2），

∴线段BC∥x轴，线段AC∥y轴，

∴AC=BC=10，△ABC是等腰直角三角形，

当点N与点O重合时，点N与线段AC的最短距离为1，

则正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，

此时m为最小值，

∵正方形的边长为，

由勾股定理，得：，

∴，（舍去）；

当点Q到线段AB的距离为1时，此时m为最大值，如图：

∵QN=1，△QMN是等腰直角三角形，

∴QM=，

∵BD=9，△BDE是等腰直角三角形，

∴DE=9，

∵△OEM是等腰直角三角形，

∴OE=OM=7，

∴m的最大值为：，

∴m的取值范围为：；

故答案为：；

（2）抛物线C：，且，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，

由题可知，点C与抛物线的距离为1时，如图：

∵点C的坐标为（，2），

∴但D的坐标为（，3），

把点D代入中，有

，

解得：；

当线段AB与抛物线的距离为1时，近距离为1，如图：即GH=1，

点H在抛物线上，过点H作AB的平行线，线段AB与y轴相交于点F，作FE⊥EH，垂足为E，

∴EF=GH=1，

∵∠FDE=∠A=45°，

∴，

∵点A（-1，-8），B（9，2），设直线AB为，

∴，解得：，

∴直线AB的解析式为：，

∴直线EH的解析式为：；

∴联合与，得

，

整理得：，

∵直线EH与抛物线有一个交点，

∴，

解得：；

综合上述，a的值为：或；

（3）由题意，取AB的中点F，连接EF，如图：

∵点A（-1，-8），B（9，2），

∴，

在中，F是AD的中点，点E是的中点，

∴，

∵点D的坐标为（5，-2），A（-1，-8），

∴点F的坐标为（2，），

∵在正方形PNMQ中，中心点的坐标为（5，），

∴点Q的坐标为（6，），

∴，

∴；

∴点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”为．