Question

如图，抛物线y=-

4

7

x²+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，4）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把点A、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）根据抛物线解析式求出点D的坐标，再利用勾股定理列式求出CD，然后分点P在x轴上方和下方两种情况写出点P的坐标即可；
（3）求出点B的坐标，然后根据△BCD的面积不变确定出△BCF的面积最大时四边形CDBF的面积最大，利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式，然后表示出EF，利用三角形的面积公式求出△BCF的面积，再利用二次函数的最值问题求出△BCF的面积和点E的横坐标，然后求解即可．

解答：解：（1）将点A（-1，0），C（0，4）代入抛物线得

- 4 7 -m+n=0 n=4

，
解得

m= 24 7 n=4

．
所以，抛物线解析式为y=-

4

7

x²+

24

7

x+4；

（2）∵y=-

4

7

x²+

24

7

x+4=-

4

7

（x-3）²+

64

7

，
∴点D的坐标为（3，0），
由勾股定理得，CD=

OC2+OD2

=

42+32

=5，
∵△PCD是以CD为腰的等腰三角形，
∴点P在x轴上方时，坐标为（3，8），
点P在x轴下方时，坐标为（3，-5）；

（3）令y=0，则-

4

7

x²+

24

7

x+4=0，
整理得，x²-6x-7=0，
解得x₁=-1，x₂=7，
所以，点B的坐标为（7，0），
∵△BCD的面积不变，
∴△BCF的面积最大时四边形CDBF的面积最大，
S_△BCD=

1

2

×（7-3）×4=8，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

7k+b=0 b=4

，
解得

k=- 4 7 b=4

，
所以，y=-

4

7

x+4，
则EF=（-

4

7

x²+

24

7

x+4）-（-

4

7

x+4）=-

4

7

x²+4x，
所以，S_△BCF=

1

2

（-

4

7

x²+4x）×7=-2x²+14x=-2（x-

7

2

）²+

49

2

，
∵-2＜0，
∴当x=

7

2

时，S_△BCF有最大值

49

2

，
此时，y=-

4

7

×

7

2

+4=-2+4=2，
所以，点E运动到（

7

2

，2）时，四边形CDBF的面积最大，
最大值=S_△BCD+S_△BCF=8+

49

2

=

65

2

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理．三角形的面积，难点在于（2）分情况讨论，（3）判断出△BCF的面积最大时四边形CDBF的面积最大并表示出△BCF的面积．