Question

9．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°．
（1）求证：DC是⊙O的切线． 
（2）若BD=1cm，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC、BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可计算出∠COB=60°，于是可判断△OBC 是等边三角形，则∠OCB=∠OBC=60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质计算出∠BCD=30°，从而得到∠OCD=90°，然后根据切线的判定定理可得到结论；
（2）利用等边三角形的性质得OB=BD=BC=1，然后在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出AC．

解答 （1）证明：连接OC、BC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠OCA=60°，
∵OC=OB，
∴△OBC 是等边三角形，
∴∠OCB=∠OBC=60°，
又∵BD=OB，
∴∠BDC=∠BCD，
而∠OBC=∠BDC+∠BCD，
∴∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：OB=BD=BC=1，
在Rt△ABC中，∴∠A=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$cm．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的判定与性质．