题目内容
13．
如图，已知点A是反比例函数y=$\frac{12}{x}$（x＞0）的图象上的一个动点，经过点A的直线l交x轴负半轴于点B，交y轴正半轴于点C．过点C作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D．过点A作AE⊥x轴于点E，交CD于点F，连接DE．设点A的横坐标是a．（1）若BC=2AC，求点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若OC=3，当四边形BCDE是平行四边形时，求a的值，并求出此时直线l对应的函数表达式．
分析 （1）由A点坐标可表示出AE的长，利用相似三角形的性质可求得CO的长，代入反比例函数解析式可表示出D点坐标；
（2）由条件可求得D点坐标，由平行四边形的性质可得△ACF∽△ABE，利用相似三角形的性质可求得a的值，则可求得A点坐标，由A、C的坐标，利用待定系数法可求得直线l的函数表达式．
解答 解：
（1）∵点A的横坐标是a，
∴点A的纵坐标为$\frac{12}{a}$，
∴AE=$\frac{12}{a}$，
∵AE⊥x轴，
∴CO∥AE，
∴△BOC∽△BEA，
∴$\frac{CO}{AE}$=$\frac{BC}{BA}$=$\frac{2}{3}$，
∴CO=$\frac{8}{a}$，
把y=$\frac{8}{a}$代入y=$\frac{12}{x}$，解得x=$\frac{3}{2}$a，
∴D点坐标为（$\frac{3}{2}$a，$\frac{8}{a}$）；
（2）∵OC=3，
∴D点纵坐标为3，
把y=3代入y=$\frac{12}{x}$可得x=4，
∴D（4，3），
∴CD=4，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BE=CD=4，且CD∥BE，
∴△ACF∽△ABE，
∴$\frac{CF}{BE}$=$\frac{AF}{AE}$，即$\frac{a}{4}$=$\frac{\frac{12}{a}-3}{\frac{12}{a}}$，解得a=2，
∴A（2，6），且C（0，3），
∴可设直线l的函数表达式为y=kx+3，
把x=2，y=6代入，可得6=2k+3，解得k=$\frac{2}{3}$，
∴直线l的函数表达式为y=$\frac{2}{3}$x+3．
点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想等知识．在（1）中用a表示出OC的长是解题的关键，在（2）中由平行四边形的性质得到相似三角形，从而得到关于a的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
如图，不能使AB∥CD的是（ ）| A． | ∠3=∠4 | B． | ∠1=∠2 | C． | ∠B=∠5 | D． | ∠B+∠BCD=180° |
如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A、B两点，其横坐标-4、1，则关于x的不等式$\frac{m}{x}$＞kx+b的解集为-4＜x＜0或x＞1．