Question

如图，矩形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE交CD于G，交BC延长线于F，∠DAE=∠DCE，∠AEB=∠CEB．
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）若AE=2EG，求EG与GF之间的数量关系．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,矩形的性质,正方形的判定

专题：

分析：（1）证明△ADE≌△CDE，得出AD=CD，证出矩形ABCD是正方形；
（2）证明△ECG∽△EFC，得出对应边成比例，求出GF=3EG．

解答：证明：（1）∵∠AEB=∠CEB，∠ADE=∠CDE，
∴∠DAE=∠DCE，
在△ADE和△CDE中，

∠ADE=∠CDE   ∠DAE=∠DCE   DE=DE

，
∴△ADE≌△CDE（AAS），
∴AD=CD，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）GF=3EG；
∵△ADE≌△CDE，
∴AE=CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BF，∴∠DAE=∠F，
∵∠DAE=∠DCE，
∴∠DCE=∠F，
又∵∠GEC=∠CEF，
∴△ECG∽△EFC，
∴

CE

EF

=

EG

CE

，
∵AE=2EG，
∴CE=2EG，
∴

2EG

EF

=

EG

2EG

，
∴EF=4EG，
∴GF=3EG．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及正方形的判定；证明三角形全等和三角形相似是关键．