Question

已知，如图，在菱形ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，点F为CE上的一点且2∠BFE+∠A=180°，连接DF，则∠CFD=

 

°．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：如图，连接AC、BD，AC与BD交于点O，连接EO、FO．构建相似三角形△EBG∽△EFB、△GOF∽△GCD，进而推知△DFG∽△COG，则其对应角相等：∠GFD=∠GOC=90°．

解答：解：如图，连接AC、BD，AC与BD交于点O，连接EO、FO．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴∠EBG+∠BAO=90°，
又∵2∠BFE+∠A=180°，
∴∠EFB+∠BAO=90°，
∴∠EBG=∠EFB，
又∠BEG=∠FBE，
∴△EBG∽△EFB，
∴BE²=EG•EF，EB=EO，
∴△EGO∽△EOF，
∴∠EOG=∠EFO=∠ABD=∠GDC，∠FGO=∠OGD，
∴△GOF∽△GCD，
∴

GO

GC

=

GF

GD

，
∴

GO

GF

=

GC

GD

，
∵∠CGO=∠DGF，
∴△DFG∽△COG，
∴∠GFD=∠GOC=90°．
故答案是：90°．

点评：本题考查了菱形的性质．解题时，注意辅助线的作法，此题是通过作辅助线构建相似三角形，利用相似三角形的性质进行证明的．