Question

5．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（　　）

• A． 16$\sqrt{3}$
• B． 8$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 8

Answer 1

分析 由菱形的性质得出AB=BC，OA=$\frac{1}{2}$AC=2，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，再证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC=4，根据勾股定理求出OB，得出BD，由菱形的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD，即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，OA=$\frac{1}{2}$AC=2，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=4，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2OB=4$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$；
故选：B．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．