Question

20．如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）求证：DM=DA；
（2）如图②，点G在BE上，且∠BDG=∠C．求证：△DEG∽△ECF；
（3）在（2）的条件下，已知EF=2，CE=3，求GE的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠AMD=∠AFE，等量代换得到∠AMD=∠A，根据等腰三角形的判定定理证明即可；
（2）根据三角形中位线定理得到DE∥AC，根据题意证明∠GDE=∠FEC，根据相似三角形的判定定理证明；
（3）证明△BDG∽△BED，得到BD²=BE•BG，根据平行四边形的性质和题意求出BD=2，根据相似三角形的性质计算即可．

解答 （1）证明：∵DM∥EF，
∴∠AMD=∠AFE，
∵∠AFE=∠A，
∴∠AMD=∠A，
∴DM=DA；
（2）证明：∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEB=∠C，
∴∠BDE=∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，
∵∠BDG=∠C，
∴∠GDE=∠FEC，又∠DEB=∠C，
∴△DEG∽△ECF；
（3）解：∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，
∴△BDG∽△BED，
∴$\frac{BD}{BE}$=$\frac{BG}{BD}$，即BD²=BE•BG，
∵DE∥AC，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴EF=DM，
又∵DM=AD，AD=BD，
∴EF=BD=2，
∵BE=CE，EF=2，CE=3，
∴2²=3•BG，
∴BG=$\frac{4}{3}$，
∴GE=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及三角形中位线定理，掌握相似三角形的对应边的比相等、三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．