Question

【题目】如图（1），，，垂足为A，B，，点在线段上以每秒2的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为（）．

（1）　　　　 ，　　　　 ；（用的代数式表示）

（2）如点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；

（3）如图（2），将图（1）中的“，”，改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在有理数，与是否全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2t，8-2t；（2）△ADP与△BPQ全等，线段PD与线段PQ垂直，理由见解析；（3）存在或，使得△ADP与△BPQ全等．

【解析】

（1）根据题意直接可得答案.

（2）由t=1可得△ACP和△BPQ中各边的长，由SAS推出△ACP≌△BPQ，进而根据全等三角形性质得∠APC+∠BPQ=90°，据此判断线段PC和PQ的位置关系；

（3）假设△ACP≌△BPQ，用t和x表示出边长，根据对应边相等解出t和x的值；

再假设△ACP≌△BQP，用上步的方法求解，注意此时的对应边和上步不一样.

（1）由题意得：2t，8-2t．

（2）△ADP与△BPQ全等，线段PD与线段PQ垂直．

理由如下：

当t=1时，AP=BQ=2，BP=AD=6，

又∠A=∠B=90°，

在△ADP和△BPQ中，

，∴△ADP△BPQ（SAS），∴∠ADP=∠BPQ，∴∠APD+∠BPQ=∠APD+∠ADP=90°，∴∠DPQ=90°，即线段PD与线段PQ垂直．

（3）①若△ADP△BPQ，

则AD=BP，，AP=BQ，

则，

解得；

②若△ADP△BQP，

则AD=BQ，AP=BP，

则，

解得：；

综上所述：存在或，使得△ADP与△BPQ全等．