Question

（本小题满分12分） 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M从点C出发，以每秒1cm的速度沿CA向终点A移动，同时动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB向终点B移动，连接PM，设移动时间为t（s）（0＜t＜2.5）．

（1）当AP=AM时，求t的值.

（2）设四边形BPMC的面积为（cm），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使四边形BPMC的面积是Rt△ABC面积的？若存在，求出相应t的值，若不存在，说明理由；

（4）是否存在某一时刻t，使以M，P，A为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出相应t的值;若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）；（2）y =；（3）t=2；（4）或.

【解析】

试题分析：（1）因为AM=4－t,AP=2t，所以当AP=AM时，则4－t= 2t，解方程得；（2）过点P作PH⊥AC于点H，根据得PH=，利用可求出函数关系式y =；（3）假设存在某一时刻t，使四边形BPMC的面积是Rt△ABC面积的，则=×6，然后解方程即可；（4）分△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况讨论.

试题解析：【解析】
（1）如图，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．

∴根据勾股定理，得AB==5cm．

AM=4－t,AP=2t

当AP=AM时，则

4－t= 2t， ∴

当时， AP=AM 3分

过点P作PH⊥AC于点H，则PH∥BC，

∴,即∴PH=.

∴=6－()

y = 7分

（3）假设存在某一时刻t，使四边形BPMC的面积是Rt△ABC面积的，则=×6，解方程得，因为（0＜t＜2.5），所以当t=2时，四边形BPMC的面积是Rt△ABC面积的； 9分

（4）分两种情况讨论，当 △AMP∽△ABC时所以解得，当△APM∽△ABC时，，所以当或时，以M，P，A为顶点的三角形与△ABC相似 12分.

考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质；3.相似三角形的判定与性质；4.函数与几何知识.