Question

如图，正方形ABCD与正方形AEFG的顶点E、A、B在同一直线上，以AB所在直线为x轴、AB中点O为原点建立平面直角坐标系，以O为圆心的⊙O恰好经过C、D、F三点，交x轴于点M、N，已知正方形ABCD的边长为4．
（1）求正方形AEFG的边长，并直接写出点C、F的坐标；
（2）抛物线y=ax²+bx经过C、F两点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点H，使得以M、N、H为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点H坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）设正方形AEFG的边长为λ，运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ，问题即可解决．
（2）将C、F两点的坐标代入抛物线解析式，列出关于a、b的方程组，求出a、b的值，问题即可解决．
（3）运用分类讨论的数学思想，当MN为直角三角形的直角边或斜边时，借助抛物线解析式、勾股定理等知识逐一讨论解析，问题即可解决．

解答：解：（1）如图，连接OC、OF；
设正方形AEFG的边长为λ；由题意得：
∠FEO=∠OBC=90°，OE=2+λ，OC=OF；OB=2，BC=4；
由勾股定理得：OC²=OB²+BC²，OF²=OE²+EF²，
∴2²+4²=（2+λ）²+λ²，
解得：λ=2或-4（舍去）．
∴正方形AEFG的边长为2，点C、F的坐标分别为C（2，4）、F（-4，2）．
（2）∵抛物线y=ax²+bx经过C、F两点，
∴

4a+2b=4 16a-4b=2

，
解得：a=

5

12

，b=

7

6

，
∴抛物线的解析式为y=

5

12

x2+

7

6

x．
（3）存在．
满足条件的点H的坐标为：（-2

5

，

25-7 5

3

）、（2

5

，

25+7 5

3

）．

点评：该题是以平面直角坐标系和圆为载体，以考查点的坐标的定义、勾股定理、待定系数法等几何知识点为核心构造而成的一道坐标型几何题；对综合的分析问题解决问题的能力、求解运算能力等均提出了较高的要求．