Question

13．阅读理解
对于任意正实数a，b，∵${（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^2}$≥0，∴a+b-2$\sqrt{ab}$≥0，∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2$\sqrt{ab}$（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2$\sqrt{p}$只有当a=b时，a+b有最小值2$\sqrt{p}$．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若x＞0，只有当x=1时，x+$\frac{1}{x}$有最小值2
（2）已知函数y=$\frac{{{{（x+1）}^2}+2}}{x+1}$（x＞-1），求y的最小值，并求出取最小值时对应的x的值
（3）如图，已知A（-2，0），B（0，-3），P为双曲线y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

Answer 1

分析 （1）由在a+b≥2$\sqrt{ab}$（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2$\sqrt{p}$只有当a=b时，a+b有最小值2$\sqrt{p}$．即可得x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，则可求得答案；
（2）由y=$\frac{{{{（x+1）}^2}+2}}{x+1}$=（x+1）+$\frac{2}{x+1}$，直接利用a+b≥2$\sqrt{ab}$求解，即可求得答案；
（3）首先设P的坐标为：（x，$\frac{6}{x}$），由S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD，可得S_{四边形ABCD}=$\frac{3}{2}$•（x+$\frac{4}{x}$+4），继而求得答案．

解答 解：（1）∵x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，
∴当且仅当x=$\frac{1}{x}$，即x=1时，x+$\frac{1}{x}$有最小值2；
故答案为：1，2；

（2）∵y=$\frac{{{{（x+1）}^2}+2}}{x+1}$=（x+1）+$\frac{2}{x+1}$≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{2}{x+1}}$=2$\sqrt{2}$，
∴当且仅当x+1=$\frac{2}{x+1}$，x=$\sqrt{2}$-1时，y的最小值为2$\sqrt{2}$；

（3）设P的坐标为：（x，$\frac{6}{x}$），
∵A（-2，0），B（0，-3），
则BD=3+$\frac{6}{x}$，OA=2，OC=x，
则S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=$\frac{1}{2}$•2•（3+$\frac{6}{x}$）+$\frac{1}{2}$x•（3+$\frac{6}{x}$）=$\frac{3}{2}$•$\frac{（x+2）^{2}}{x}$=$\frac{3}{2}$•（x+$\frac{4}{x}$+4）≥$\frac{3}{2}$×（2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$+4）=12，
∴当且仅当x=$\frac{4}{x}$，即x=2时，四边形ABCD面积有最小值，最小值是12；
∴点P的坐标为：（2，3），
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是矩形．

点评 此题属于反比例函数综合题，考查了几何不等式的应用．理解在a+b≥2$\sqrt{ab}$（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2$\sqrt{p}$只有当a=b时，a+b有最小值2$\sqrt{p}$是关键．