Question

【题目】如图，在中，，以为直径的⊙与边分别交于两点，过点作，垂足为点.

⑴求证：是⊙的切线；

⑵若，求的长

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，推出∠ODB=∠C；然后根据DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可推出DF是⊙O的切线．（2）首先判断出：AG=AE=2，然后判断出四边形OGFD为矩形，即可求出DF的值．

试题解析：

（1）证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G，

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠B，

又∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴∠ODB=∠C，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC=90°，

∴∠ODF=∠DFC=90°，

∴DF是⊙O的切线．

（2）解：AG=AE=2，

∵cosA=，

∴OA===5，

∴OG=，

∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°，

∴四边形OGFD为矩形，

∴DF=OG=．