Question

8．如图，△ABC内接于半圆O，AB为⊙O直径，点D是$\widehat{AC}$的中点，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：AP=DP．
（2）若⊙O的半径为5，AD=6，求DP的长．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建直角△ADB，得∠2与∠DAB互余，由DE⊥AB得∠3与∠DAB互余，由等弧所对的圆周角相等得∠1=∠2，根据等量代换得∠1=∠3，再由等角对等边得AP=DP；
（2）先由勾股定理求DB=8，再根据面积相等求斜边上的高DE的长；由相似得AE的长，最后在直角△ADE中设PD=x，由勾股定理列方程，可求出x的值，即是PD的长．

解答 证明：（1）连接BD，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{DC}$，
∴∠1=∠2，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠2+∠DAB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠3+∠DAE=90°，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴DP=AP；
（2）由勾股定理得：DB=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
由S_△ADB=$\frac{1}{2}$×AD×BD=$\frac{1}{2}$×AB×DE，
$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×10×DE
∴DE=4.8，
∵∠2=∠3，∠AED=∠ADB，
∴△AED～△ADB，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{AE}{6}=\frac{6}{10}$，
∴AE=3.6，
设PD=x，则AP=x，PE=4.8-x，
由勾股定理得：x²=3.6²+（4.8-x）²，
x=3.75，
∴PD=3.75．

点评 本题考查了三角形的外接圆、等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用；同时还运用了面积法求高，这在数学中经常运用，要熟练掌握．