Question

14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为（7，0），顶点C的坐标为（0，5），∠OAB的平分线交边BC于点G，点E在边BC上，且△OCE沿OE翻折后点C恰好落在线段AG上的点F处．
（1）求线段AF的长；
（2）设点D（-1，0），在x轴上取一点P，连接FD、FP．若∠FDO+∠FPO=∠FOA，且tan∠FOA=$\frac{4}{3}$时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点F作FH⊥OA，垂足为H，得出FH=HA，设FH=HA=x，则OH=7-x，在Rt△OHF中运用勾股定理求出x的值，继而可得AF的长．
（2）由（1）可知，点F的坐标是（3，4）或（4，3），结合tan∠FOA=$\frac{4}{3}$，确定F的坐标是（3，4），过点F作FH⊥OA于点H，当点P₁落在x轴的正半轴上时，有△DOF∽△DFP₁，当点P₂落在x轴的负半轴上时，有△DOF∽△FOP₂，运用相似三角形的性质可得点P的坐标．

解答 解：（1）如图1，过点F作FH⊥OA，垂足为H，
∵四边形OABC为矩形，
∴∠OAB=90°，
∵AG平分∠OAB，
∴∠OAG=45°，
∴FH=HA，
∵OH²+FH²=OF²，
∴（7-x）²+x²=5²，
解得：x₁=3，x₂=4，
∴AF=$\sqrt{2}$x=3$\sqrt{2}$或4$\sqrt{2}$；

（2）由（1）可知，点F的坐标是（3，4）或（4，3），
∵tan∠FOA=$\frac{4}{3}$，
∴F的坐标是（3，4），
如图2，过点F作FH⊥OA于点H，

且DF²=DH²+FH²=4²+4²=32，OF²=OH²+FH²=3²+4²=25，
∵∠FOA=∠FDO+∠DFO，∠FDO+∠FPO=∠FOA，
∴∠DFO=∠FPO，
①当点P₁落在x轴的正半轴上时，有△DOF∽△DFP₁，∴$\frac{DF}{D{P}_{1}}$=$\frac{DO}{DF}$，
∴DF²=DO•DP₁，
∴DP₁=32，
∴OP₁=31，即P₁（31，0）；
②当点P₂落在x轴的负半轴上时，有△DOF∽△FOP₂，
∴$\frac{OF}{O{P}_{2}}$=$\frac{DO}{OF}$，
∴OF²=DO•0P₂，
∴OP₂=25，
∴P₂（-25，0）．
∴点P的坐标为：P₁（31，0）；P₂（-25，0）．

点评 本题考查了四边形的综合应用，涉及了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是分类讨论思想及数形结合思想的运用，难度较大．