题目内容
（2013•梧州模拟）如图，已知直线y=-| 1 |
| 2 |
（1）请直接写出点C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒
| 5 |
分析：（1）求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，证△AOB≌△BZC≌△DMA，推出BZ=OA=DM=1，CZ=OB=MA=2，即可求出答案；
（2）设抛物线为y=ax2+bx+c，把A、D、C的坐标代入求出即可；
（3）分为三种情况，根据题意画出图形，①当点A运动到x轴上点F时，②当点C运动x轴上时，③当点D运动到x轴上时，根据相似三角形的性质和判定和三角形的面积公式求出即可．
（2）设抛物线为y=ax2+bx+c，把A、D、C的坐标代入求出即可；
（3）分为三种情况，根据题意画出图形，①当点A运动到x轴上点F时，②当点C运动x轴上时，③当点D运动到x轴上时，根据相似三角形的性质和判定和三角形的面积公式求出即可．
解答：解：（1）
∵直线y=-
x+1，
∴当x=0时，y=1，当y=0时，x=2，
∴OA=1，OB=2，
过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠ABC=∠AOB=∠CZB=90°，
∴∠ABO+∠CBZ=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBZ，
在△AOB和△BZC中
，
∴△AOB≌△BZC（AAS），
∴OA=BZ=1，OB=CZ=2，
∴C（3，2），
同理可求D的坐标是（1，3）；
（2）设抛物线为y=ax2+bx+c，
∵抛物线过A（0，1），D（1，3），C（3，2），
∴
，
解得：a=-
，b=
，c=1，
∴抛物线的解析式为y=-
x2+
x+1；
（3）∵OA=1，OB=2，
∴由勾股定理得：AB=
，
①当点A运动到x轴上点F时，t=1，
当0＜t≤1时，如图1，
∵∠OFA=∠GFB′，tan∠OFA=
=
，
∴tan∠GFB′=
=
=
，
∴GB′=
t，
∴S△FB′G=
FB′×GB′=
•
t•
t，
∴S=
t2；
②当点C运动x轴上时，t=2，
当1＜t≤2时，如图2，
∵AB=A′B′=
，
∴A′F=
t-
，
∴A′G=
，
∵B′H=
t，
∴S四边形A′B′HG=
（A′G+B′H）•A′B′=
•（
+
t）•
，
∴S=
t-
；
③当点D运动到x轴上时，t=3，
当2＜t≤3时，如图3，
∵A′G=
，
∴GD′=
-
=
，
∵S△AOF=
×2×1=1，OA=1，∠AOF=∠FA′G=90°，∠AFO=∠GFA′，
∴△AOF∽△GA′F，
∴
=（
）2，
∴S△GA′F=（
）2，
∴S五边形GA′B′CH=（
）2-（
）2，
∴S=-
t2+
t-
．
∵直线y=-| 1 |
| 2 |
∴当x=0时，y=1，当y=0时，x=2，
∴OA=1，OB=2，
过C作CZ⊥x轴于Z，过D作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠ABC=∠AOB=∠CZB=90°，
∴∠ABO+∠CBZ=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBZ，
在△AOB和△BZC中
|
∴△AOB≌△BZC（AAS），
∴OA=BZ=1，OB=CZ=2，
∴C（3，2），
同理可求D的坐标是（1，3）；
（2）设抛物线为y=ax2+bx+c，
∵抛物线过A（0，1），D（1，3），C（3，2），
∴
|
解得：a=-| 5 |
| 6 |
| 17 |
| 6 |
∴抛物线的解析式为y=-
| 5 |
| 6 |
| 17 |
| 6 |
（3）∵OA=1，OB=2，
∴由勾股定理得：AB=
| 5 |
①当点A运动到x轴上点F时，t=1，
当0＜t≤1时，如图1，
∵∠OFA=∠GFB′，tan∠OFA=
| OA |
| OF |
| 1 |
| 2 |
∴tan∠GFB′=
| GB′ |
| FB′ |
| GB′ | ||
|
| 1 |
| 2 |
∴GB′=
| ||
| 2 |
∴S△FB′G=| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| ||
| 2 |
∴S=
| 5 |
| 4 |
②当点C运动x轴上时，t=2，
当1＜t≤2时，如图2，
∵AB=A′B′=
| 5 |
∴A′F=
| 5 |
| 5 |
∴A′G=
| ||||
| 2 |
∵B′H=
| ||
| 2 |
∴S四边形A′B′HG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 5 |
∴S=
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
③当点D运动到x轴上时，t=3，
当2＜t≤3时，如图3，∵A′G=
| ||||
| 2 |
∴GD′=
| 5 |
| ||||
| 2 |
3
| ||||
| 2 |
∵S△AOF=
| 1 |
| 2 |
∴△AOF∽△GA′F，
∴
| S△GA′F |
| S△AOF |
| GD′ |
| OA |
∴S△GA′F=（
3
| ||||
| 2 |
∴S五边形GA′B′CH=（
| 5 |
3
| ||||
| 2 |
∴S=-
| 5 |
| 4 |
| 15 |
| 2 |
| 25 |
| 4 |
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，一次函数图象上点的特征，用待定系数法求出二次函数的解析式，正方形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度偏大．
练习册系列答案
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