Question

【题目】如图，、是⊙的直径，过点的切线与的延长线交于点，于，连接、、.

（1）求证：AC是的角平分线；

（2）求证：；

（3）若,求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）2.

【解析】

（1）由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；
（2）根据三角形外角的性质结合直径所对的圆周角可证得，即可证得，从而证得结论；

（3）设⊙O半径为R，在中，利用勾股定理结合已知，求得，在中，求得，得到2，由OC∥AD，根据平行线分线段成比例即可求得答案．

（1）∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC．
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；

（2）连接BC，如图：

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90，

∵，

，

∴，

又是公共角，

∴，

∴，

∴；

（3）设⊙O半径为R，

在中，∠=90，

，

∵，

∴，即，

在中，，

∴，

∴2，3，

∴OC∥AD，

∴

∴

∴

∴⊙的半径为．