题目内容
20．
已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点A（4，3）．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜4，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴，交x轴于点C，当四边形OADM的面积为12时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）观察图象，反比例函数的图象在正比例函数的图象的上方，写出相应的自变量的取值范围即可．
（3）求出点M、点D的坐标即可解决问题．
解答 解：（1）∵正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点A（4，3），
∴3=4a.3=$\frac{k}{4}$，
∴a=$\frac{3}{4}$，k=12，
∴正比例函数y=$\frac{3}{4}$x，反比例函数y=$\frac{12}{x}$；
（2）观察图象可知0＜x＜4时，反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）结论：BM=DM．
理由：连接OD，
∵AC∥y轴，MB∥x轴，
∴四边形OBDC是平行四边形，
又∵∠BOC=90°，
∴四边形OBDC是矩形，BD=OC，CD=OB．
∴S△OBD=S△OCD，
又∵S△OBM=S△OAC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∴S△OAD=S△OMD=$\frac{1}{2}$S四边形OADM=6，
∴S△OCD=12，
∴D（4，6），
∴M（2，6），
∴BM=DM．
点评 本题考查反比例函数综合题、待定系数法、正比例函数、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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