Question

已知抛物线y=2x²-4mx+

1

2

与x轴有两个不同的交点A、B，抛物线的顶点为C．
（1）当△ABC为等边三角形时，试确定点C的坐标；
（2）如何平移符合条件（1）的抛物线，使AC=

3

2

AB；
（3）设点D、E分别是AC、BC的中点，点F、G分别是DC、EC的中点，问四边形DFGE的面积S的大小与m的取值是否有关？若有关，写出其关系式；若无关，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用根的判别式列出关于m的不等式，设抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x₁，0）（x₂，0），顶点坐标为（h，k），利用根与系数的关系表示出AB，h、k，再根据等边三角形的性质列出方程求解即可；
（2）用AB表示出k，然后列出方程求出m的值，从而得到顶点C的坐标，再求出原抛物线的顶点坐标，然后根据顶点的变化确定平移方法即可；
（3）根据三角形的中位线定理求出S_△DCE=

1

4

S_△ABC，S_△FCG=

1

4

S_△DCE，然后求出S_{四边形DFGE}=

3

16

S_△ABC，再根据三角形的面积公式列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△=（-4m）²-4×2×

1

2

＞0，
∴4m²-1＞0，
设抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x₁，0）（x₂，0），顶点坐标为（h，k），
则AB=|x₁-x₂|=

(- -4m 2 )2-4× 1 2 2

=

4m2-1

，
h=-

-4m

2×2

=m，k=

4×2× 1 2 -(-4m)2

4×2

=

1-4m2

2

，
∵△ABC为等边三角形，
∴|k|=

3

2

AB，
∴

4m2-1

2

=

3

2

×

4m2-1

，
∴m²=1，
解得m=±1，
当m=1时，h=1，k=-

3

2

，
当m=-1时，h=-1，k=-

3

2

，
所以，点C的坐标为（1，-

3

2

）或（-1，-

3

2

）；

（2）由AC=

3

2

AB得，|k|=

2

AB，
所以

4m2-1

2

=

2

×

4m2-1

，
整理得m²=

9

4

，
解得m=±

3

2

，
所以，AB=

4×(± 3 2 )2-1

=2

2

，
|k|=

2

×2

2

=4，
k=-4，
∴平移后点C的坐标为（

3

2

，-4）或（-

3

2

，-4），
所以，应将（1）中C为（1，-

3

2

）的抛物线先向下平移

5

2

个单位，再向右平移

1

2

个单位，或向左平移

5

2

个单位；
将C为（-1，-

3

2

）的抛物线先向下平移

5

2

个单位，再向右平移

5

2

个单位，或向左平移

1

2

个单位；

（3）∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴S_△DCE=

1

4

S_△ABC，
∵点F、G分别是DC、EC的中点，
∴S_△FCG=

1

4

S_△DCE，
∴S_{四边形DFGE}=

3

16

S_△ABC，
∵S_△ABC=

1

2

4m2-1

×

4m2-1

2

，
∴S=

3

16

×

1

2

4m2-1

×

4m2-1

2

=

3

64

（4m²-1）

4m2-1

，
∴四边形DFGE的面积S的大小与m的取值有关，
其关系式为S=

3

64

（4m²-1）

4m2-1

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与x轴的交点问题，根与系数的关系，等边三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，表示出AB的长和顶点C的纵坐标是解题的关键，也是本题的难点．