Question

14．如图，△ABC内接于⊙O，E是AC上一点，EF⊥AB于点F，且$\frac{AE}{EF}$=$\frac{3}{4}$，BC=10，则BC的弦心距OD等于（　　）

• A． $\frac{9}{4}$
• B． $\frac{15}{4}$
• C． 4
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 连接BO，OC由圆周角定理和垂径定理易证△AEF∽△BDO，由相似三角形的性质：对应边的性质相等可得到OD和BD的比值，结合已知条件BC=10，即可求出OD的长．

解答 解：
连接BO，OC，
∵OD⊥BC，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC，BD=$\frac{1}{2}$BC=5，
∵∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠A=∠BOD，
又∵EF⊥AB，
∴∠AEF=∠BDO=90°，
∴△AEF∽△BDO，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{OD}{BD}$，
∵$\frac{AE}{EF}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{OD}{5}=\frac{3}{4}$，
∴OD=$\frac{15}{4}$，
故选B．

点评 本题考查了圆周角定理的运用、相似三角形的判定和性质以及垂直的性质，解题的关键是正确添加辅助线构造相似三角形，是一道非常不错的中考试题．