Question

11．如图，已知在?ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，AD=5，DC=4   则DA′的大小为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{21}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 过A′作A′F⊥DA于点F，由旋转的性质可得求得A′B，在Rt△ABE中可求得BE，则可求得A′E，则可求得DF和A′F，在Rt△A′FD中由勾股定理可求得A′D．

解答 解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=4，∠ABC=∠ADC=60°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=2，AE=A′F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∵取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴A′B在线段BC上，且A′B=AB=4，
∴A′E=A′B-BE=4-2=2，
∴AF=A′E=2，
∴DF=DA-AF=5-2=3，
在Rt△A′FD中，由勾股定理可得A′D=$\sqrt{A′{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{21}$，

点评 本题主要考查旋转的性质及勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键．