Question

6．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，AD∥BC，点E在边AC上，且∠DEB=90°，DH⊥AC于H．
（1）求证：CE-AE=2DH；
（2）若DH=2，AC=8，求四边形BCHD的面积．

Answer 1

分析 （1）证明：如图，作BM⊥AC于M，AB与DE交于点O．首先证明△DAO∽△BEO，推出$\frac{OA}{OE}$=$\frac{OD}{OB}$，即$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OE}{OB}$，于∠AOE=∠DOB，推出△AOE∽△DOB，∠ODB=∠BAC=45°，DE=BE，由△DEH≌△EBM，推出DH=EM，再根据CE=AE=（CM+EM）-（AM-EM）=2EM=2DH．即可解决问题．
（2）根据S_{四边形BCHD}=S_△ADH+S_△ABC+S_△ABC计算即可．

解答 （1）证明：如图，作BM⊥AC于M，AB与DE交于点O．

∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∵∠AOD=∠EOB，∠DAO=∠OEB=90°，
∴△DAO∽△BEO，
∴$\frac{OA}{OE}$=$\frac{OD}{OB}$，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OE}{OB}$，∵∠AOE=∠DOB，
∴△AOE∽△DOB，
∴∠ODB=∠BAC=45°．
∵∠DEB=90°，
∴∠EDB=∠EBD=45°，
∴DE=BE，
∵∠DEH+∠BEM=90°，∠BEM+∠EBM=90°，
∴∠DEH=∠EBM
∵∠H=∠BME=90°，
∴△DEH≌△EBM，
∴DH=EM，
∵BA=BC，BM⊥AC，
∴AM=CM，
∴CE=AE=（CM+EM）-（AM-EM）=2EM=2DH．

（2）解：由（1）可知，△ADH，△ABC是等腰直角三角形，
∵DH=AH=2，
∴AD=$\sqrt{2}$DH=2$\sqrt{2}$，
∵AC=8，
∴AB=BC=4$\sqrt{2}$，
∴S_{四边形BCHD}=S_△ADH+S_△ABC+S_△ABC=$\frac{1}{2}$（2×2+2$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$+4$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$）=26．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质．等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．