Question

如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴正半轴上．点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F．

（1）若△OAE、△OCF的面积分别为S₁、S₂．且S₁+S₂=2，求k的值；
（2）若OA=2.0C=4．问当点E运动到什么位置时．四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少？

Answer 1

（1）2  （2）当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5．

试题分析：（1）设E（x₁，），F（x₂，），x₁＞0，x₂＞0，根据三角形的面积公式得到S₁=S₂=k，利用S₁+S₂=2即可求出k；
（2）设，，利用S_{四边形OAEF}=S_矩形OABC﹣S_△BEF﹣S_△OCF=﹣+5，根据二次函数的最值问题即可得到当k=4时，四边形OAEF的面积有最大值，S_{四边形OAEF}=5，此时AE=2．
解：（1）∵点E、F在函数y=（x＞0）的图象上，
∴设E（x₁，），F（x₂，），x₁＞0，x₂＞0，
∴S₁=，S₂=，
∵S₁+S₂=2，
∴=2，
∴k=2；
（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，
设，，
∴BE=4﹣，BF=2﹣，
∴S_△BEF=﹣k+4，
∵S_△OCF=，S_矩形OABC=2×4=8，
∴S_{四边形OAEF}=S_矩形OABC﹣S_△BEF﹣S_△OCF=+4，
=﹣+5，
∴当k=4时，S_{四边形OAEF}=5，
∴AE=2．
当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5．
点评：本题考查了反比例函数k的几何含义和点在双曲线上，点的横纵坐标满足反比例的解析式．也考查了二次的顶点式及其最值问题．