Question

如图在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x-m）²-m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连接BD，做AE∥x轴，DE∥y轴，
（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？
②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；
（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=1；
（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=-m²+m+1，将m=

x

2

代入y=-m²+m+1，即可求出二次函数的表达式；
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．

解答：解：（1）当m=2时，y=（x-2）²-2，
把x=0代入y=（x-2）²-2，得：y=2，
∴点B的坐标为（0，2）．

（2）延长EA，交y轴于点F，
∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED，
∴AF=AE，
∵点A（m，-m²+m），点B（0，m），
∴AF=AE=|m|，BF=m-（-m²+m）=m²，
∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴

BF

AF

=

AE

DE

，即：

m2

|m|

=

|m|

DE

，
∴DE=1．

（3）①∵点A的坐标为（m，-m²+m），
∴点D的坐标为（2m，-m²+m+1），
∴x=2m，y=-m²+m+1，
∴y=-（

x

2

）²+

x

2

+1，
∴所求函数的解析式为：y=-

1

4

x²+

1

2

x+1，
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，

（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），
点P的横坐标为3m，
点P的纵坐标为：（-m²+m+1）-m²=-2m²+m+1，
把P（3m，-2m²+m+1）的坐标代入y=-

1

4

x²+

1

2

x+1得：
-2m²+m+1=-

1

4

×（3m）²+

1

2

×（3m）+1，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=2．
（Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），
点P的横坐标为m，
点P的纵坐标为：（-m²+m+1）+m²=m+1，
把P（m，m+1）的坐标代入y=-

1

4

x²+

1

2

x+1得：
m+1=-

1

4

m²+

1

2

m+1，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=-2，
综上所述：m的值为2或-2．

点评：本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论．