Question

12．（1）若$\frac{|x|}{x}$=1，求x．
（2）若$\frac{|x|}{x}$=-1，求x．
变式：求$\frac{|x|}{x}$+$\frac{|y|}{y}$的值
变式：$\frac{|x|}{x}$和$\frac{y}{|y|}$互为相反数，求（$\frac{|x|}{x}$）²+（$\frac{y}{|y|}$）³的值．

Answer 1

分析 （1）由原式得|x|=x，根据绝对值性质得x＞0；
（2）由原式得|x|=-x，根据绝对值性质得x＜0；
变式：分①x＞0，y＞0；②x＞0，y＜0；③x＜0，y＞0；④x＜0，y＜0；分别求解可得；
变式：由题意知$\frac{|x|}{x}$+$\frac{y}{|y|}$=0即x、y异号，分①x＞0，y＜0；②x＜0，y＞0；两种情况求解．

解答 解：（1）若$\frac{|x|}{x}$=1则x≠0，且|x|=x，即绝对值等于本身，则x是正数；

（2）若$\frac{|x|}{x}$=-1则x≠0，且|x|=-x，即绝对值等于其相反数，则x是负数；

变式：①当x＞0，y＞0时，$\frac{|x|}{x}$+$\frac{|y|}{y}$=1+1=2；②当x＞0，y＜0时，$\frac{|x|}{x}$+$\frac{|y|}{y}$=1-1=0；
③当x＜0，y＞0时，$\frac{|x|}{x}$+$\frac{|y|}{y}$=-1+1=0；④当x＜0，y＜0时，$\frac{|x|}{x}$+$\frac{|y|}{y}$=-1-1=-2；
综上，$\frac{|x|}{x}$+$\frac{|y|}{y}$的值为±2或0；

变式：根据题意知，$\frac{|x|}{x}$+$\frac{y}{|y|}$=0，
∴x、y异号，
①当x＞0，y＜0时，（$\frac{|x|}{x}$）²+（$\frac{y}{|y|}$）³=1²+（-1）³=1-1=0；
②当x＜0，y＞0时，（$\frac{|x|}{x}$）²+（$\frac{y}{|y|}$）³=（-1）²+1³=1+1=2；
综上，（$\frac{|x|}{x}$）²+（$\frac{y}{|y|}$）³的值为0或2．

点评 本题主要考查绝对值的性质和相反数的性质，根据题意罗列所有情况是解题的关键．