Question

16．已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点 E作AC 的垂线EF，交AB 于点 M，交CB 的延长线于点F．如果FB的长是 $\sqrt{2}$，∠AEM=30°．求菱形ABCD 的周长和面积．

Answer 1

分析 首先连接BD，易证得四边形EFBD为平行四边形，即可求得AD的长，继而求得菱形ABCD的周长，求出对角线的长度，利用菱形的面积=对角线乘积的一半求出面积．

解答 解：连接BD．
∵在菱形ABCD中，
∴AD∥BC，AC⊥BD．
又∵EF⊥AC，
∴BD∥EF．
∴四边形EFBD为平行四边形．
∴FB=ED=$\sqrt{2}$．
∵∠AEM=30°
∴BD=2$\sqrt{6}$，AC=2$\sqrt{2}$，
∵E是AD的中点．
∴AD=2ED=2$\sqrt{2}$．
∴菱形ABCD的周长为4×2$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$，
∴菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直的性质，菱形的四条边都相等的性质，掌握菱形的面积=对角线乘积的一半求出面积．