Question

如图，平面直角坐标系中，点B的坐标为（1，2），过点B作x轴的垂线，垂足为A，连接OB，将△OAB沿OB折叠，使点A落在点A′处，A′B与y轴交于点F．
（1）求证：OF=BF；
（2）求BF的长；
（3）求过点A′的双曲线的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先根据轴对称的性质可知△OAB≌△OA′B，得出∠OBA=∠OBA′，再由AB∥OF，根据平行线的性质得出∠OBA=∠BOF，那么
∠OBA′=∠BOF，最后根据等角对等边得出OF=BF；
（2）根据轴对称的性质可知△OAB≌△OA′B，得出∠OAB=∠OA′B=90°，AB=A′B=2，OA=OA′=1．如果设OF=x，用含x的代数式表示BF，A′F．在直角△OA′F中，运用勾股定理列出关于x的方程，求出x的值即可；
（3）欲求过点A′的双曲线的解析式，只需求出点A′的坐标．为此，过点A′作A′E⊥x轴，垂足为点E．在直角△FA′O中，先求出sin∠A′OF，cos∠A′OF的值，再由A′E∥OF，得出∠EA′O=∠A′OF．最后在直角△EA′O中，运用三角函数的定义得出OE，A′E的值，从而得出点A′的坐标．

解答：解：（1）∵△OAB≌△OA′B，
∴∠OBA=∠OBA′，
∵AB∥OF，
∴∠OBA=∠BOF，
∴∠OBA′=∠BOF，
∴OF=BF；

（2）∵△OAB≌△OA′B，
∴∠OAB=∠OA′B=90°，AB=A′B=2，OA=OA′=1．
设OF=x，则BF=x，A′F=2-x．
在直角△OA′F中，∵∠OA′F=90°，
∴OF²=0A′²+A′F²，
∴x²=1²+（2-x）²，
解得x=

5

4

，
∴BF=

5

4

．

（3）如图，过点A′作A′E⊥x轴，垂足为点E．
∵A′E∥OF，
∴∠EA′O=∠A′OF．
∵在直角△FA′O中，sin∠A′OF=

A′F

OF

=

3 4

5 4

=

3

5

，cos∠A′OF=

OA′

OF

=

1

5 4

=

4

5

，
∴在直角△EA′O中，OE=OA′sin∠EA′O=1×

3

5

=

3

5

，
A′E=OA′cos∠EA′O=1×

4

5

=

4

5

．
∴点A′的坐标为（-

3

5

，

4

5

），
∴过点A′的双曲线的解析式为y=-

12

25x

．

点评：本题主要考查了轴对称变换、平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角函数的定义等．