Question

如图①，△ABC与△DEF是将△ACF沿过A点的某条直线剪开得到的（AB，DE是同一条剪切线）．平移△DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点E旋转△DEF，使ED，EF分别与AB，BC交于M，N两点．
（1）如图②，△ABC中，若AB=BC，且∠ABC=90°，则线段EM与EN有何数量关系？请直接写出结论；
（2）如图③，△ABC中，若AB=BC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由；
（3）如图④，△ABC中，若AB：BC=m：n，探索线段EM与EN的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似形综合题,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰三角形的性质,多边形内角与外角,相似三角形的判定与性质

专题：证明题,探究型

分析：（1）由四边形的内角和为360°可以推出∠HEM=∠GEN，由等腰三角形的三线合一及角平分线的性质可以推出EH=EG，从而可以证到△HEM≌△GEN，进而有EM=EG．
（2）借鉴（1）的证明方法同样可以证到EM=EG．
（3）借鉴（2）中解题经验可以证到△HEM∽△GEN，从而有EM：EN=EH：EG．由点E为AC的中点可得S_△AEB=S_△CEB，可证到EH：EG=BC：AB，从而得到EM：EN=BC：AB=n：m．

解答：解：（1）EM=EN．
证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图②所示．

则∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵BA=BC，点E为AC中点，
∴BE平分∠ABC．
又∵EH⊥AB，EG⊥BC，
∴EH=EG．
在△HEM和△GEN中，
∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，
∴△HEM≌△GEN．
∴EM=EN．

（2）EM=EN仍然成立．
证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图③所示．

则∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵BA=BC，点E为AC中点，
∴BE平分∠ABC．
又∵EH⊥AB，EG⊥BC，
∴EH=EG．
在△HEM和△GEN中，
∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，
∴△HEM≌△GEN．
∴EM=EN．

（3）线段EM与EN满足关系：EM：EN=n：m．
证明：过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图④所示．

则∠EHB=∠EGB=90°．
∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．
∵∠HBG+∠DEF=180°，
∴∠HEG=∠DEF．
∴∠HEM=∠GEN．
∵∠HEM=∠GEN，∠EHM=∠EGN，
∴△HEM∽△GEN．
∴EM：EN=EH：EG．
∵点E为AC的中点，
∴S_△AEB=S_△CEB．
∴

1

2

AB•EH=

1

2

BC•EG．
∴EH：EG=BC：AB．
∴EM：EN=BC：AB．
∵AB：BC=m：n，
∴EM：EN=n：m．

点评：本题通过图形的变换，考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和等知识，同时也渗透了变中有不变的辩证思想，而运用等积法又是解决第三小题的关键，是一道好题．