Question

10．在等边三角形ABC中，点D在BC上，且BD：DC=1：4，连接DA，作∠DAE，满足∠DAE=30°，则tan∠BAE的值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 在△ABC外作∠BAF=30°，∵∠DAE=30°，得到∠BAF=∠DAE，过D作DF⊥AF于F，DG⊥AC于G，过B作BH⊥AC于H，设△ABC的边长为a，求得BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，推出四边形AFDG是矩形，根据矩形的性质得到AF=DG，DF=AG，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{HG}{CH}=\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{5}$，得到AG=$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{10}$=$\frac{3}{5}$a=DF，根据三角函数的定义即刻得到结论．

解答 解：在△ABC外作∠BAF=30°，
∵∠DAE=30°，
∴∠BAF=∠DAE，过D作DF⊥AF于F，DG⊥AC于G，过B作BH⊥AC于H，
设△ABC的边长为a，
则BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵BD：DC=1：4，
∴$\frac{DG}{BH}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{4}{5}$，
∴DG=$\frac{4}{5}$BH=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$a，
∵∠F=∠FAG=∠AGD=90°，
∴四边形AFDG是矩形，
∴AF=DG，DF=AG，
∴AF=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$a，
∵DG∥BH，
∴$\frac{HG}{CH}=\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{5}$，
∴HG=$\frac{1}{5}$CH=$\frac{a}{10}$，
∴AG=$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{10}$=$\frac{3}{5}$a=DF，
∴tan∠BAE=tan∠DAF=$\frac{\frac{3}{5}a}{\frac{2\sqrt{3}}{5}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理，矩形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．