Question

【题目】如图，四边形是矩形，点是对角线上一动点(不与、 重合)，连接，过点作，交射线于点，已知，．设的长为．

(1) ；当时， ；

(2)①试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；

②连接，设的面积为，求的最小值．

(3)当是等腰三角形时．请求出的值；

Answer 1

【答案】（1）4，；（2）①为定值，值为；② ；（3）或4

【解析】

（1）作PM⊥AB于M交CD于N．根据三角函数和勾股定理求出AB，求出PN和BM的长，由△BMP∽△PNE，推出 即可得出结果；

（2）① 为定值．证明方法类似（1）； ②利用勾股定理求出，根据三角形的面积公式得出二次函数，再利用二次函数的性质即可解决问题．

（3）分两种情形讨论求解，当点E在线段CD上时，当点E在DC的延长线上时，即可解决问题；

解：（1）作PM⊥AB于M交CD于N．如图1所示：

∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD=3，∠ABC=90°，

∴sin∠BAC=

∴AC=5， ∴AB=

在Rt△APM中，PA=1，PM=，AM=，

∴，

∵MN=AD=3，

∴PN=MN-PM=，

∵∠PMB=∠PNE=∠BPE=90°，

∴∠BPM+∠EPN=90°，∠EPN+∠PEN=90°，

∴∠BPM=∠PEN，

∴△BMP∽△PNE，

∴

故答案为4，；

（2）①结论： 的值为定值．

理由如下： 当点E在点C左侧时，如图1所示： 由PA=x，可得PM＝

∴AM

∵△BMP∽△PNE，

∴

当点E在点C右侧时，如图2所示：

同理得出 ． 综上所述：的值为定值．

②在Rt△PBM中，

∵ ． ∴，

∴

∵0＜x＜5， ∴ 时，S有最小值=．

（3）①当点E在线段CD上时，连接BE交AC于F．

∵∠PEC＞90°，所以只能EP=EC，

∴∠EPC=∠ECP，

∵∠BPE=∠BCE=90°，

∴∠BPC=∠BCP，

∴BP=BC，

∴BE垂直平分线段PC，

在Rt△BCF中，cos∠BCF，

∴ ∴

∴

∴

②当点E在DC的延长线上时，设BC交PE于G．

∵∠PCE＞90°，所以只能CP=CE．

∴∠CPE=∠E，

∵∠GPB=∠GCE=90°，∠PGB=∠CGE，

∴∠PBG=∠E=∠CPE，

∵∠ABP+∠PBC=90°，

∠APB+∠CPE=90°，

∴AB=AP=4，

综上所述，x的值为或4．