Question

【题目】如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，抛物线与直线交于，两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）坐标轴上是否存在一点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，或，理由见解析；（3）或．

【解析】

（1）将A、C的坐标代入求出a、c即可得到解析式；

（2）先求出E点坐标，然后作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q'，根据垂直平分线的性质可知Q、与A、E，Q'与A、E组成的三角形是以AE为底边的等腰三角形，设Q点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；

（3）根据A、E坐标，求出AE长度，然后推出∠BAE=∠ABC=45°，设，由相似得到或，建立方程求解即可．

（1）将，代入得：

，解得

∴抛物线解析式为

（2）存在，理由如下：

联立和，

，解得或

∴E点坐标为(4,-5)，

如图，作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q'，

此时Q点与Q'点的坐标即为所求，

设Q点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，

由QA=QE，Q'A= Q'E得：

，

解得，

故Q点坐标为或

（3）∵，

∴，

当时，解得或3

∴B点坐标为(3,0)，

∴

∴，，，

由直线可得AE与y轴的交点为(0,-1)，而A点坐标为(-1,0)

∴∠BAE=45°

设则，

∵和相似

∴或，即或

解得或，

∴或．