Question

【题目】如图，抛物线y=x2﹣4x﹣5与x轴交于A，B两点（电B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴．

（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上一点，且2＜m＜5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值．

（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0）、B（5，0）、C（0，﹣5），x=2；（2）；（3）存在，点P的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，﹣6）或（2，1）．

【解析】

（1）分别令x=0和y=0代入抛物线的解析式中，可得A、B、C点坐标，根据对称

性，可得对称轴；

（2）根据矩形周长公式表示四边形EHDF周长，并根据二次函数的顶点式可得四边形EHDF

周长的最大值；

（3）分三种情况：

①当∠CBP=90°时，如图2，根据△PDB∽△BOC，列比例式得：PD=DB，可得结论；

②当∠BCP=90°时，如图3，根据△PCG∽△BDG，则=，可得PG的长，从而写出P

的坐标；

③以AB为直径画圆，交对称轴于P1、P2，如图4，根据△P1DB∽△CHP1，则，

列方程可得结论．

解：（1）当x=0时，y=﹣5，

∴C（0，﹣5），

当y=0时，x2﹣4x﹣5=0，

x1=5，x2=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（5，0），

由对称性得：抛物线的对称轴是：

（2）如图1，∵E（m，n），且2＜m＜5，

∴E在第四象限，

∴EF=m﹣2，EH=n=﹣m2+4m+5，

设四边形EHDF周长为W，

则W=2（EF+EH）=2（m﹣2﹣m2+4m+5）=﹣2m2+10m+6

∵﹣2＜0，

∴当时，四边形EHDF周长的最大值是；

（3）设P（2，y），

分三种情况：

①当∠CBP=90°时，如图2，

∴∠PBO=∠OCB，

∵∠PDB=∠COB=90°，

∴△PDB∽△BOC，

∴

∴PD=DB，

∴y=5﹣2=3，

∴P（2，3）；

②当∠BCP=90°时，如图3，

∵∠OBC=45°，

∴△GDB是等腰直角三角形，

∴BD=DG=3，

∴

∵

∴

∵△PCG∽△BDG，

∴

∴

∴PG=4，

∴P（2，﹣7）；

③以AB为直径画圆，交对称轴于P1、P2，如图4，则∠CP1B=∠CP2B=90°，

过C作CH⊥对称轴于H，

∴△P1DB∽△CHP1，

∴,

∴

∴y1=﹣6（舍），y2=1，

∴P1（2，1），

同理得：P2（2，﹣6）；

综上所述，点P的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，﹣6）或（2，1）．