Question

【题目】如图，在中，，的平分线交于点，以为圆心，长为半径作．

（1）求证：是的切线．

（2）设与切于点，，连接，，．

①当__________时，四边形为菱形；

②当__________时，为等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①30°；②1+

【解析】

（1）过点D作DH⊥AC于点H，根据角平分线的性质得到DH=BD即可得到结论；

（2）①根据菱形的性质证得△BDF是等边三角形，即可求出答案；

②根据等腰直角三角形的性质得到CD=1，利用勾股定理求出CD=，设AB=x，由勾股定理建立方程求出x即可得到答案.

（1）过点D作DH⊥AC于点H，

∵，

∴DB⊥AB，

∵AD平分∠BAC，

∴DH=BD，

∴DH是的半径，

∴是的切线．

（2）①∵四边形为菱形，

∴BF=EF=DE=BD，

∵DF=DB=DE，

∴DF=DB=BF，

∴△BDF是等边三角形，

∴∠BDF=60°，

∵，

∴∠BAD=30°，

故答案为：30°；

②∵与切于点，

∴∠AED=90°，

∵为等腰三角形，

∴CE=DE=,

∴CD=，

设AB=x，则AE=x，AC=x+1，BC=1+,

∵,

∴,

∴，

解得x=1+，

故答案为：1+.