题目内容
已知：如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，CD=12，AD=5，点M沿着DA方向从D向A运动，速度是每秒1个单位，同时，点N沿着CD方向从C到D运动，速度是每秒2个单位，当其中一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间是x秒．
（1）几秒时MN∥BC？
（2）设△DMN的面积是y，请你写出y与x之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻，使多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的
？如果存在，则求出此时x的值；如果不存在，请说明理由．
（4）如图（2），在两点移动过程中，以DN为对称轴将△DMN翻折，四边形DMNM′能否成为菱形？如果有可能，求出此时x的值；如果没有可能，请说明理由．
（1）几秒时MN∥BC？
（2）设△DMN的面积是y，请你写出y与x之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻，使多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的
| 2 | 3 |
（4）如图（2），在两点移动过程中，以DN为对称轴将△DMN翻折，四边形DMNM′能否成为菱形？如果有可能，求出此时x的值；如果没有可能，请说明理由．
分析：（1）设x秒时MN∥BC，过点A作AE∥BC交CD于E，由平行线、平行公理的推论及等腰梯形的性质得出∠D=∠MND，则MN=MD；再由MN∥AE，根据平行线分线段成比例定理得出MN：AE=DN：DE，求出MN=10-
x；然后根据MN=MD列出关于x的方程，解方程即可；
（2）过点A作AF⊥CD于点F，过点M作MG⊥CD于点G，则MG∥AF．先由等腰梯形的性质求出DF=3，则在直角△ADF中，运用勾股定理得出AF=4，再由MG∥AF，根据平行线分线段成比例定理得出MG：AF=DM：AD，求出MG=
x，然后根据三角形的面积公式即可得到求y与x之间的函数关系式；
（3）当多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的
时，△DMN的面积是梯形ABCD面积的
，由此列出方程，整理得出x2-6x+15=0，即可判断这样的时刻不存在；
（4）先由轴对称的性质得出DM′=DM，M′N=MN，再由（1）知，x=
秒时MN=MD，根据四边相等的四边形是菱形得出x=
秒时四边形DMNM′是菱形．
| 5 |
| 3 |
（2）过点A作AF⊥CD于点F，过点M作MG⊥CD于点G，则MG∥AF．先由等腰梯形的性质求出DF=3，则在直角△ADF中，运用勾股定理得出AF=4，再由MG∥AF，根据平行线分线段成比例定理得出MG：AF=DM：AD，求出MG=
| 4 |
| 5 |
（3）当多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（4）先由轴对称的性质得出DM′=DM，M′N=MN，再由（1）知，x=
| 15 |
| 4 |
| 15 |
| 4 |
解答：
解：（1）如图，设x秒时MN∥BC，此时DM=x，CN=2x．
过点A作AE∥BC交CD于E，则∠AED=∠C，
∵MN∥BC，∴MN∥AE，
∴∠MND=∠AED，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，
∴∠D=∠C，
∴∠D=∠MND，
∴MN=MD．
∵MN∥AE，
∴MN：AE=DN：DE，即MN：5=（12-2x）：6，
解得MN=10-
x．
∵MN=MD，
∴10-
x=x，
解得x=
．
故
秒时MN∥BC；
（2）如图，过点A作AF⊥CD于点F，过点M作MG⊥CD于点G，则MG∥AF．
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=6，CD=12，
∴DF=
（CD-AB）=3．
在直角△ADF中，∠AFD=90°，AD=5，DF=3，
∴AF=
=4．
∵MG∥AF，
∴MG：AF=DM：AD，即MG：4=x：5，
∴MG=
x，
∴y=
DN•MG=
×（12-2x）×
x=-
x2+
x．
故所求y与x之间的函数关系式为y=-
x2+
x；
（3）不存在某一时刻，能够使多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的
．理由如下：
∵△DMN的面积+多边形ABCNM的面积=梯形ABCD面积，
∴当多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的
时，△DMN的面积是梯形ABCD面积的
，
∴-
x2+
x=
×
×（6+12）×4，
整理得x2-6x+15=0，
∵△=36-60=-24＜0，
∴x无解．
故不存在某一时刻，能够使多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的
．
（4）在两点移动过程中，以DN为对称轴将△DMN翻折，四边形DMNM′能成为菱形．理由如下：
由轴对称的性质可知，DM′=DM，M′N=MN，
又由（1）知，x=
秒时MN=MD，
∴x=
秒时MN=MD=DM′=M′N，
∴x=
秒时四边形DMNM′是菱形．
解：（1）如图，设x秒时MN∥BC，此时DM=x，CN=2x．过点A作AE∥BC交CD于E，则∠AED=∠C，
∵MN∥BC，∴MN∥AE，
∴∠MND=∠AED，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，
∴∠D=∠C，
∴∠D=∠MND，
∴MN=MD．
∵MN∥AE，
∴MN：AE=DN：DE，即MN：5=（12-2x）：6，
解得MN=10-
| 5 |
| 3 |
∵MN=MD，
∴10-
| 5 |
| 3 |
解得x=
| 15 |
| 4 |
故
| 15 |
| 4 |
（2）如图，过点A作AF⊥CD于点F，过点M作MG⊥CD于点G，则MG∥AF．∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=6，CD=12，
∴DF=
| 1 |
| 2 |
在直角△ADF中，∠AFD=90°，AD=5，DF=3，
∴AF=
| AD2-DF2 |
∵MG∥AF，
∴MG：AF=DM：AD，即MG：4=x：5，
∴MG=
| 4 |
| 5 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
故所求y与x之间的函数关系式为y=-
| 4 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
（3）不存在某一时刻，能够使多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的
| 2 |
| 3 |
∵△DMN的面积+多边形ABCNM的面积=梯形ABCD面积，
∴当多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴-
| 4 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
整理得x2-6x+15=0，
∵△=36-60=-24＜0，
∴x无解．
故不存在某一时刻，能够使多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的
| 2 |
| 3 |
（4）在两点移动过程中，以DN为对称轴将△DMN翻折，四边形DMNM′能成为菱形．理由如下：由轴对称的性质可知，DM′=DM，M′N=MN，
又由（1）知，x=
| 15 |
| 4 |
∴x=
| 15 |
| 4 |
∴x=
| 15 |
| 4 |
点评：本题考查了等腰梯形的性质，平行公理的推论，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角形、梯形的面积，轴对称的性质，菱形的判定，综合性较强，有一定难度．利用平行线分线段成比例定理列出比例式，进而用含x的代数式表示相关线段是解题的关键．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．
13、已知：如图，E、F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D=∠B．
已知：如图，C、F在BE上，∠A=∠D，AB∥DE，AB=DE．
22、已知：如图，D、E在BC上，AB=AC，AD=AE．试说明线段BD与CE相等的理由．
已知：如图，E、F两点在BC上，BE=CF，AB∥DE，AF∥CD