Question

【题目】如图，在等边中，D为边AC的延长线上一点（），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：；

（3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）线段AH与CG的数量关系：．证明见解析.

【解析】

（1）补全的图形如图1所示；

（2）根据直角三角形含角的性质得：，得，即可证出；

（3）作辅助线，证明四边形是平行四边形和，即可证出．

(1)补全的图形如图1所示,

(2)证明：∵是等边三角形，

∴．

．

由平移可知 ，．

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

(3)线段AH与CG的数量关系： ．

证明：如图2，连接BE，EF．

∵，，

∴四边形是平行四边形．

∴，．

∵垂直平分，

∴ ．

∴．

∵，

∴ ，．

∴ ．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴．