Question

15．如图，已知在?ABCD内有线段EF∥BC，AE、DF的延长线交于点H，又分别交BC于点M、N，BE、CF的延长线交于点G，HG分别交EF、BC于点P、Q，求证：BQ：MQ=CQ：NQ．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC，于是得到AD∥BC∥EF，推出△AHD∽△EHF，△BGC∽△EGF，根据相似三角形的性质得到$\frac{AH}{EH}$=$\frac{AD}{EF}$，$\frac{BG}{EG}$=$\frac{BC}{EF}$，根据比例的性质得到$\frac{AE}{EH}=\frac{BE}{EG}$，证得△AEB∽△HEG，得到对应角相等∠ABE=∠EGH，于是证得AB∥GH，得到GH∥CD，然后根据平行线分线段成比例和比例的性质即可得到结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵EF∥BC，
∴AD∥BC∥EF，
∴△AHD∽△EHF，△BGC∽△EGF，
∴$\frac{AH}{EH}$=$\frac{AD}{EF}$，$\frac{BG}{EG}$=$\frac{BC}{EF}$，
∴$\frac{AH}{EH}$=$\frac{BG}{EG}$，
∴$\frac{AH}{BG}=\frac{EH}{EG}$，
∵AH=EH+AE，BG=EG+BE，
∴$\frac{AH}{BG}=\frac{EH}{EG}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{AE}{EH}=\frac{BE}{EG}$，
∵∠AEB=∠HEP，
∴△AEB∽△HEG，
∴∠ABE=∠EGH，
∴AB∥GH，
∵AB∥CD，
∴GH∥CD，
∴$\frac{AB}{QH}=\frac{BM}{MQ}$，$\frac{CD}{QH}=\frac{CN}{NQ}$，
∴$\frac{BM}{MQ}=\frac{CN}{NQ}$，
∴$\frac{BM+MQ}{MQ}=\frac{CN+NQ}{NQ}$，
即BQ：MQ=CQ：NQ．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理比例的性质，平行四边形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．