Question

11．已知：△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点
（1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）题要通过构建全等三角形来求解．连接AD，可通过证△ADF和△BDE全等来求本题的结论．
（2）与（1）题的思路和解法一样．

解答 （1）证明：连接AD，
∵AB=AC，∠A=90°，D为BC中点
∴AD=$\frac{BC}{2}$=BD=CD
且AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=45°
在△BDE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AD}\\{∠B=∠DAF=45°}\\{BE=AF}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF
∵∠BDE+∠ADE=90°
∴∠ADF+∠ADE=90°
即：∠EDF=90°
∴△EDF为等腰直角三角形．

（2）仍为等腰直角三角形．
理由：∵△AFD≌△BED
∴DF=DE，∠ADF=∠BDE
∵∠ADF+∠FDB=90°
∴∠BDE+∠FDB=90°
即：∠EDF=90°
∴△EDF为等腰直角三角形．

点评 本题综合考查了等腰三角形的性质及判定、全等三角形的判定和性质等知识，难度较大．