Question

如果n是正整数，那么[1-（-1）ⁿ]（n²-1）的值（ ）
A．一定是零
B．一定是偶数
C．是整数但不一定是偶数
D．不一定是整数

Answer 1

【答案】分析：因为n是正整数，即n可以是奇数，也可以是偶数．因此要分n为奇数，n为偶数情况讨论．
解答：解：当n为奇数时，（-1）ⁿ=-1，1-（-1）ⁿ=2，
设不妨n=2k+1（k取自然数），
则n²-1=（2k+1）²-1=（2k+1+1）（2k+1-1）=4k（k+1），
∴k与（k+1）必有一个是偶数，
∴n²-1是8的倍数．
所以[1-（-1）ⁿ]（n²-1）=×2×8的倍数，
即此时[1-（-1）ⁿ]（n²-1）的值是偶数；
当n为偶数时，（-1）ⁿ=1，1-（-1）ⁿ=0，
所以[1-（-1）ⁿ]（n²-1）=0，
此时[1-（-1）ⁿ]（n²-1）的值是0，也是偶数．
综上所述，如果n是正整数，[1-（-1）ⁿ]（n²-1）的值是偶数．
故选B．
点评：解题关键是掌握负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；-1的奇数次幂是-1，-1的偶数次幂是1．偶数与偶数的积是偶数，偶数与奇数的积是偶数，奇数与奇数的积是奇数．