Question

如图，抛物线y=-x²-4x+3与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，问：在此抛物线上是否存在一点P，使直线OP与抛物线只有点P这个公共点？若存在，求P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：设过点O的直线解析式为y=kx（k≠0），与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据只有一个公共点，方程有两个相等的实数根△=0，求出x的值，再求出y的值即可得到点P的坐标．

解答：解：设过点O的直线解析式为y=kx（k≠0），
联立

y=kx y=-x2-4x+3

消掉y得，-x²-4x+3=kx，
整理得，x²+（4+k）x+3=0，
∵直线OP与抛物线只有点P这个公共点，
∴△=（4+k）²-4×3=0，
解得k=-4±2

3

，
x=

-b± b2-4ac

2a

=±

3

，
x=

3

时，y=-（

3

）²-4×

3

+3=-4

3

，
x=-

3

时，y=-（-

3

）²-4×（-

3

）+3=4

3

，
∴存在点P为（

3

，-4

3

）或（-

3

，4

3

）．

点评：本题考查了二次函数的性质，根据只有一个公共点，根的判别式△=0列出求出k的值是解题的关键．