Question

15．已知：点P（m，n）为抛物线y=ax²-4ax+b（a≠0）上一动点．
（1）P₁（1，n₁），P₂（3，n₂）为P点运动所经过的两个位置，判断n₁，n₂的大小，并说明理由；
（2）当1≤m≤4时，n的取值范围是1≤n≤4，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的解析式可以找出抛物线的对称轴，由此可得出P₁（1，n₁）、P₂（3，n₂）两点关于对称轴对称，由此即可得出结论；
（2）分a＞0和a＜0两种情况考虑，依据二次函数的性质找出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．

解答 解：（1）n₁=n₂．理由如下：
∵y=ax²-4ax+b=a（x-2）²+b-4a，
∴该抛物线的对称轴为x=2，
∴P₁（1，n₁）、P₂（3，n₂）两点关于对称轴对称，
∴n₁=n₂．
（2）①当a＜0时，有$\left\{\begin{array}{l}{b-4a=4}\\{16a-16a+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
此时抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²+3x+1；
②当a＞0时，有$\left\{\begin{array}{l}{16a-16a+b=4}\\{b-4a=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
此时抛物线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x²-3x+4．
综上可知：抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²+3x+1或y=$\frac{3}{4}$x²-3x+4．

点评 本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）找出P₁（1，n₁）、P₂（3，n₂）两点关于对称轴对称；（2）分a＞0和a＜0两种情况考虑．解决该题型题目时，分类讨论是关键．