Question

7．如图，已知：∠MON=30°，点A₁、A₂、A₃、…在射线ON上，点B₁、B₂、B₃、…在射线OM上，△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄、…均为等边三角形，若OA₁=1，则△A₉B₉A₁₀的边长为（　　）

• A． 32
• B． 64
• C． 128
• D． 256

Answer 1

分析 据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，以及A₂B₂=2B₁A₂，得出A₃B₃=4B₁A₂=4，A₄B₄=8B₁A₂=8，A₅B₅=16B₁A₂…进而得出答案．

解答 解：∵△A₁B₁A₂是等边三角形，
∴A₁B₁=A₂B₁，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA₁=A₁B₁=1，
∴A₂B₁=1，
∵△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，B₁A₂∥B₂A₃，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A₂B₂=2B₁A₂，B₃A₃=2B₂A₃，
∴A₃B₃=4B₁A₂=4，
A₄B₄=8B₁A₂=8，
A₅B₅=16B₁A₂=16，
…
∴△A_nB_nA_n+1的边长为 2^n-1，
∴△A₉B₉A₁₀的边长为2^9-1=2⁸=256．
故选D．

点评 本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A₃B₃=4B₁A₂，A₄B₄=8B₁A₂，A₅B₅=16B₁A₂进而发现规律是解题关键．