Question

【题目】在等腰直角三角形中， ， , 是斜边的中点，连接.

（1）如图1， 是的中点，连接，将沿翻折到，连接，当时，求的值.

（2）如图2，在上取一点，使得，连接,将沿翻折到,连接交于点,求证： .

Answer 1

【答案】（1）的值为；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）在等腰直角三角形中先求出AC的长，再在Rt△ACE′中，理由勾股定理求出AE′的长即可；（2）B作AE’的垂线交AD于点G，交AC于点H,由角角边可证△ABH≌△CAE′，所以AH=HE=CE，进而D是BC中点，由中位线定理得DE//BH ，再由角角边得△ABG≌△CAF，得到AG=CF进而DF=CF.

试题解析：（1）∵， ，D是斜边的中点，

∴，∠ACD=45°，

在RtADC中：AC=AD.sin45°=

∵E是AC的中点

∴CE=AC=

∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′

∴CE′=CE=, ∠ACE′=90°,由勾股定理得：

AE′=

过B作AE’的垂线交AD于点G，交AC于点H

∵∠ABH+∠BAF=90°，∠CAF+∠BAF=90°

∴∠ABH=∠CAF

又∵AB=AC,∠BAH=∠ACE’=90°

∴△ABH≌△CAE′

∴AH=CE′=CE

∵

∴AH=HE=CE

∵D是BC中点

∴DE//BH

∴G是AD中点

在ABG和CAF中：AB=AC,∠BAD=∠ACD=45°，∠ABH=∠CAF

∴△ABG≌△CAF

∴AG=CF

∵AG=AD

∴CF=AD=CD

∴DF=CF